RECURSIVIDAD
14.05.2014 10:34
1a Instancia
2a Instancia
3a Instancia
4a Instancia
3a Instancia
2a instancia
1a instancia
#include
#include
1a Instancia
2a Instancia
3a Instancia
4a Instancia
3a Instancia
2a instancia
1a instancia
#include
#include
1a Instancia
2a Instancia
3a Instancia
4a Instancia
3a Instancia
2a instancia
1a instancia
#include
#include
Se dice que una función es recursiva cuando se define en función de si misma.
No todas la funciones pueden llamarse a si mismas, sino que deben estar diseñadas especialmente para que sean recursivas, de otro modo podrían conducir a bucles infinitos, o a que el programa termine inadecuadamente.
Tampoco todos los lenguajes de programación permiten usar recursividad.
C++ permite la recursividad. Cada vez que se llama a una función, se crea un juego de variables locales, de este modo, si la función hace una llamada a si misma, se guardan sus variables y parámetros, usando la pila, y la nueva instancia de la función trabajará con su propia copia de las variables locales. Cuando esta segunda instancia de la función retorna, recupera las variables y los parámetros de la pila y continúa la ejecución en el punto en que había sido llamada.
Por ejemplo:
Prodríamos crear una función recursiva para calcular el factorial de un número entero.
El factorial se simboliza como n!, se lee como "n factorial", y la definición es:
|
n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 |
Hay algunas limitaciones:
· No es posible calcular el factorial de números negativos, no está definido.
· El factorial de cero es 1.
De modo que una función bien hecha para cálculo de factoriales debería incluir un control para esos casos:
/* Función recursiva para cálculo de factoriales */
int factorial(int n) {
if(n < 0) return 0;
else if(n > 1) return n*factorial(n-1); /* Recursividad */
return 1; /* Condición de terminación, n == 1 */
}
Veamos paso a paso, lo que pasa cuando se ejecuta esta función, por ejemplo: factorial(4):
1a Instancia
n=4
n > 1
salida ← 4 * factorial(3) (Guarda el valor de n = 4)
2a Instancia
n > 1
salida ← 3*factorial(2) (Guarda el valor de n = 3)
3a Instancia
n > 1
salida ← 2*factorial(1) (Guarda el valor de n = 2)
4a Instancia
n == 1 → retorna 1
3a Instancia
(recupera n=2 de la pila) retorna 1*2=2
2a instancia
(recupera n=3 de la pila) retorna 2*3=6
1a instancia
(recupera n=4 de la pila) retorna 6*4=24
Valor de retorno → 24
Aunque la función factorial es un buen ejemplo para demostrar cómo funciona una función recursiva, la recursividad no es un buen modo de resolver esta función, que sería más sencilla y rápida con un simple bucle for.
La recursividad consume muchos recursos de memoria y tiempo de ejecución, y se debe aplicar a funciones que realmente le saquen partido.
Veamos otro ejemplo: visualizar las permutaciones de n elementos.
Las permutaciones de un conjunto son las diferentes maneras de colocar sus elementos, usando todos ellos y sin repetir ninguno. Por ejemplo para A, B, C, tenemos: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
#include
using namespace std;
/* Prototipo de función */
void Permutaciones(char *, int l=0);
int main(int argc, char *argv[]) {
char palabra[] = "ABCDE";
Permutaciones(palabra);
cin.get();
return 0;
}
void Permutaciones(char * cad, int l) {
char c; /* variable auxiliar para intercambio */
int i, j; /* variables para bucles */
int n = strlen(cad);
for(i = 0; i < n-l; i++) {
if(n-l > 2) Permutaciones(cad, l+1);
else cout << cad << ", ";
/* Intercambio de posiciones */
c = cad[l];
cad[l] = cad[l+i+1];
cad[l+i+1] = c;
if(l+i == n-1) {
for(j = l; j < n; j++) cad[j] = cad[j+1];
cad[n] = 0;
}
}
}
El algoritmo funciona del siguiente modo:
Al principio todos los elementos de la lista pueden cambiar de posición, es decir, pueden permutar su posición con otro. No se fija ningún elemento de la lista, l = 0: Permutaciones(cad, 0)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Se llama recursivamente a la función, pero dejando fijo el primer elemento, el 0: Permutacion(cad,1)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Se llama recursivamente a la función, pero fijando el segundo elemento, el 1: Permutacion(cad,2)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Ahora sólo quedan dos elementos permutables, así que imprimimos ésta permutación, e intercambiamos los elementos: l y l+i+1, es decir el 2 y el 3.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
D |
C |
/0 |
Imprimimos ésta permutación, e intercambiamos los elementos l y l+i+1, es decir el 2 y el 4.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
/0 |
C |
D |
En el caso particular de que l+i+1 sea justo el número de elementos hay que mover hacia la izquierda los elementos desde la posición l+1 a la posición l:
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
En este punto abandonamos el último nivel de recursión, y retomamos en el valor de l=1 e i = 0.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Permutamos los elementos: l y l+i+1, es decir el 1 y el 2.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
C |
B |
D |
/0 |
En la siguiente iteración del bucle i = 1, llamamos recursivamente con l = 2: Permutaciones(cad,2)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
C |
B |
D |
/0 |
Imprimimos la permutación e intercambiamos los elementos 2 y 3.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
C |
D |
B |
/0 |
Y así sucesivamente.
Otras formas de recursividad
^
Existen otras formas de implementar algoritmos recursivos, no es necesario que una función se invoque a si misma.
Por ejemplo, un par de funciones A y B pueden crear un algoritmo recursivo si la función A invoca a la función B, y esta a su vez invoca a la función A.
Este mismo mecanismo se puede implementar con tres, cuatro o con cualquier número de funciones.
Veamos un ejemplo. Partamos de la siguiente serie:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... - 1/2*n + 1/2*n+1 - ...
Podemos diseñar un procedimiento recursivo para calcular la suma de los n primeros elementos de la serie, de modo que usemos una función diferente para los elementos pares e impares.
// Suma de la serie 1-1/2+1/3-1/4+1/5...
// (C) 2009 Con Clase
// Salvador Pozo
#include
using namespace std;
double par(int);
double impar(int);
double suma(int);
int main() {
cout << suma(3) << endl;
cout << suma(13) << endl;
cout << suma(23) << endl;
cout << suma(87) << endl;
cout << suma(250) << endl;
cout << suma(450) << endl;
return 0;
}
double suma(int n) {
if(n % 2) return impar(n);
else return par(n);
}
double par(int n) {
return impar(n-1)-1/double(n);
}
double impar(int n) {
if(n == 1) return 1;
return par(n-1)+1/double(n);
}
Veremos más aplicaciones de recursividad en el tema de estructuras dinámicas de datos.
Problemas
^
1. La sucesión de Fibonacci se define como una serie infinita de números naturales.
El primer término, para n = 0, es 0 y el segundo, para n = 1 es 1. Los sucesivos se calculan como la suma de los dos términos anteriores. Por ejemplo, el término 5 es la suma de los términos 3 y 4.
Los primeros términos son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...
Hacer un programa que calcule el término n de la sucesión de Fibonacci de forma recursiva.
2. Volvamos al problema de los palíndromos. Pero ahora usaremos una función recursiva para determinar si una cadena determinada es o no palíndroma.
3. Veamos ahora un problema clásico: las torres de Hanói.
Torres de Hanói
El juego consiste en tres varillas verticales. En una de ellas están apiladas un número de discos, generalmente ocho, de diámetros diferentes, ordenados de mayor a menor (el de mayor diámetro abajo). Las otras dos varillas están vacías. El juego consiste en pasar todos los discos de la varilla ocupada a una de las varillas libres.
Para llegar a ese objetivo hay que respetar tres reglas:
1. Sólo se puede mover un disco cada vez.
2. Un disco de mayor tamaño no se puede colocar encima de uno más pequeño.
3. Sólo se puede mover el disco que se encuentre en la parte superior de cada varilla.
Resolver el juego usando algoritmos recursivos.Hay algunas limitaciones:
· No es posible calcular el factorial de números negativos, no está definido.
· El factorial de cero es 1.
De modo que una función bien hecha para cálculo de factoriales debería incluir un control para esos casos:
/* Función recursiva para cálculo de factoriales */
int factorial(int n) {
if(n < 0) return 0;
else if(n > 1) return n*factorial(n-1); /* Recursividad */
return 1; /* Condición de terminación, n == 1 */
}
Veamos paso a paso, lo que pasa cuando se ejecuta esta función, por ejemplo: factorial(4):
1a Instancia
n=4
n > 1
salida ← 4 * factorial(3) (Guarda el valor de n = 4)
2a Instancia
n > 1
salida ← 3*factorial(2) (Guarda el valor de n = 3)
3a Instancia
n > 1
salida ← 2*factorial(1) (Guarda el valor de n = 2)
4a Instancia
n == 1 → retorna 1
3a Instancia
(recupera n=2 de la pila) retorna 1*2=2
2a instancia
(recupera n=3 de la pila) retorna 2*3=6
1a instancia
(recupera n=4 de la pila) retorna 6*4=24
Valor de retorno → 24
Aunque la función factorial es un buen ejemplo para demostrar cómo funciona una función recursiva, la recursividad no es un buen modo de resolver esta función, que sería más sencilla y rápida con un simple bucle for.
La recursividad consume muchos recursos de memoria y tiempo de ejecución, y se debe aplicar a funciones que realmente le saquen partido.
Veamos otro ejemplo: visualizar las permutaciones de n elementos.
Las permutaciones de un conjunto son las diferentes maneras de colocar sus elementos, usando todos ellos y sin repetir ninguno. Por ejemplo para A, B, C, tenemos: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
#include
using namespace std;
/* Prototipo de función */
void Permutaciones(char *, int l=0);
int main(int argc, char *argv[]) {
char palabra[] = "ABCDE";
Permutaciones(palabra);
cin.get();
return 0;
}
void Permutaciones(char * cad, int l) {
char c; /* variable auxiliar para intercambio */
int i, j; /* variables para bucles */
int n = strlen(cad);
for(i = 0; i < n-l; i++) {
if(n-l > 2) Permutaciones(cad, l+1);
else cout << cad << ", ";
/* Intercambio de posiciones */
c = cad[l];
cad[l] = cad[l+i+1];
cad[l+i+1] = c;
if(l+i == n-1) {
for(j = l; j < n; j++) cad[j] = cad[j+1];
cad[n] = 0;
}
}
}
El algoritmo funciona del siguiente modo:
Al principio todos los elementos de la lista pueden cambiar de posición, es decir, pueden permutar su posición con otro. No se fija ningún elemento de la lista, l = 0: Permutaciones(cad, 0)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Se llama recursivamente a la función, pero dejando fijo el primer elemento, el 0: Permutacion(cad,1)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Se llama recursivamente a la función, pero fijando el segundo elemento, el 1: Permutacion(cad,2)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Ahora sólo quedan dos elementos permutables, así que imprimimos ésta permutación, e intercambiamos los elementos: l y l+i+1, es decir el 2 y el 3.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
D |
C |
/0 |
Imprimimos ésta permutación, e intercambiamos los elementos l y l+i+1, es decir el 2 y el 4.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
/0 |
C |
D |
En el caso particular de que l+i+1 sea justo el número de elementos hay que mover hacia la izquierda los elementos desde la posición l+1 a la posición l:
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
En este punto abandonamos el último nivel de recursión, y retomamos en el valor de l=1 e i = 0.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Permutamos los elementos: l y l+i+1, es decir el 1 y el 2.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
C |
B |
D |
/0 |
En la siguiente iteración del bucle i = 1, llamamos recursivamente con l = 2: Permutaciones(cad,2)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
C |
B |
D |
/0 |
Imprimimos la permutación e intercambiamos los elementos 2 y 3.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
C |
D |
B |
/0 |
Y así sucesivamente.
Otras formas de recursividad
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Existen otras formas de implementar algoritmos recursivos, no es necesario que una función se invoque a si misma.
Por ejemplo, un par de funciones A y B pueden crear un algoritmo recursivo si la función A invoca a la función B, y esta a su vez invoca a la función A.
Este mismo mecanismo se puede implementar con tres, cuatro o con cualquier número de funciones.
Veamos un ejemplo. Partamos de la siguiente serie:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... - 1/2*n + 1/2*n+1 - ...
Podemos diseñar un procedimiento recursivo para calcular la suma de los n primeros elementos de la serie, de modo que usemos una función diferente para los elementos pares e impares.
// Suma de la serie 1-1/2+1/3-1/4+1/5...
// (C) 2009 Con Clase
// Salvador Pozo
#include
using namespace std;
double par(int);
double impar(int);
double suma(int);
int main() {
cout << suma(3) << endl;
cout << suma(13) << endl;
cout << suma(23) << endl;
cout << suma(87) << endl;
cout << suma(250) << endl;
cout << suma(450) << endl;
return 0;
}
double suma(int n) {
if(n % 2) return impar(n);
else return par(n);
}
double par(int n) {
return impar(n-1)-1/double(n);
}
double impar(int n) {
if(n == 1) return 1;
return par(n-1)+1/double(n);
}
Veremos más aplicaciones de recursividad en el tema de estructuras dinámicas de datos.
Problemas
^
1. La sucesión de Fibonacci se define como una serie infinita de números naturales.
El primer término, para n = 0, es 0 y el segundo, para n = 1 es 1. Los sucesivos se calculan como la suma de los dos términos anteriores. Por ejemplo, el término 5 es la suma de los términos 3 y 4.
Los primeros términos son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...
Hacer un programa que calcule el término n de la sucesión de Fibonacci de forma recursiva.
2. Volvamos al problema de los palíndromos. Pero ahora usaremos una función recursiva para determinar si una cadena determinada es o no palíndroma.
3. Veamos ahora un problema clásico: las torres de Hanói.
Torres de Hanói
El juego consiste en tres varillas verticales. En una de ellas están apiladas un número de discos, generalmente ocho, de diámetros diferentes, ordenados de mayor a menor (el de mayor diámetro abajo). Las otras dos varillas están vacías. El juego consiste en pasar todos los discos de la varilla ocupada a una de las varillas libres.
Para llegar a ese objetivo hay que respetar tres reglas:
1. Sólo se puede mover un disco cada vez.
2. Un disco de mayor tamaño no se puede colocar encima de uno más pequeño.
3. Sólo se puede mover el disco que se encuentre en la parte superior de cada varilla.
Resolver el juego usando algoritmos recursivos.Hay algunas limitaciones:
· No es posible calcular el factorial de números negativos, no está definido.
· El factorial de cero es 1.
De modo que una función bien hecha para cálculo de factoriales debería incluir un control para esos casos:
/* Función recursiva para cálculo de factoriales */
int factorial(int n) {
if(n < 0) return 0;
else if(n > 1) return n*factorial(n-1); /* Recursividad */
return 1; /* Condición de terminación, n == 1 */
}
Veamos paso a paso, lo que pasa cuando se ejecuta esta función, por ejemplo: factorial(4):
1a Instancia
n=4
n > 1
salida ← 4 * factorial(3) (Guarda el valor de n = 4)
2a Instancia
n > 1
salida ← 3*factorial(2) (Guarda el valor de n = 3)
3a Instancia
n > 1
salida ← 2*factorial(1) (Guarda el valor de n = 2)
4a Instancia
n == 1 → retorna 1
3a Instancia
(recupera n=2 de la pila) retorna 1*2=2
2a instancia
(recupera n=3 de la pila) retorna 2*3=6
1a instancia
(recupera n=4 de la pila) retorna 6*4=24
Valor de retorno → 24
Aunque la función factorial es un buen ejemplo para demostrar cómo funciona una función recursiva, la recursividad no es un buen modo de resolver esta función, que sería más sencilla y rápida con un simple bucle for.
La recursividad consume muchos recursos de memoria y tiempo de ejecución, y se debe aplicar a funciones que realmente le saquen partido.
Veamos otro ejemplo: visualizar las permutaciones de n elementos.
Las permutaciones de un conjunto son las diferentes maneras de colocar sus elementos, usando todos ellos y sin repetir ninguno. Por ejemplo para A, B, C, tenemos: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
#include
using namespace std;
/* Prototipo de función */
void Permutaciones(char *, int l=0);
int main(int argc, char *argv[]) {
char palabra[] = "ABCDE";
Permutaciones(palabra);
cin.get();
return 0;
}
void Permutaciones(char * cad, int l) {
char c; /* variable auxiliar para intercambio */
int i, j; /* variables para bucles */
int n = strlen(cad);
for(i = 0; i < n-l; i++) {
if(n-l > 2) Permutaciones(cad, l+1);
else cout << cad << ", ";
/* Intercambio de posiciones */
c = cad[l];
cad[l] = cad[l+i+1];
cad[l+i+1] = c;
if(l+i == n-1) {
for(j = l; j < n; j++) cad[j] = cad[j+1];
cad[n] = 0;
}
}
}
El algoritmo funciona del siguiente modo:
Al principio todos los elementos de la lista pueden cambiar de posición, es decir, pueden permutar su posición con otro. No se fija ningún elemento de la lista, l = 0: Permutaciones(cad, 0)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
D |
/0 |
Se llama recursivamente a la función, pero dejando fijo el primer elemento, el 0: Permutacion(cad,1)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
C |
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Se llama recursivamente a la función, pero fijando el segundo elemento, el 1: Permutacion(cad,2)
0 |
1 |
2 |
3 |
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A |
B |
C |
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/0 |
Ahora sólo quedan dos elementos permutables, así que imprimimos ésta permutación, e intercambiamos los elementos: l y l+i+1, es decir el 2 y el 3.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
D |
C |
/0 |
Imprimimos ésta permutación, e intercambiamos los elementos l y l+i+1, es decir el 2 y el 4.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
B |
/0 |
C |
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En el caso particular de que l+i+1 sea justo el número de elementos hay que mover hacia la izquierda los elementos desde la posición l+1 a la posición l:
0 |
1 |
2 |
3 |
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A |
B |
C |
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/0 |
En este punto abandonamos el último nivel de recursión, y retomamos en el valor de l=1 e i = 0.
0 |
1 |
2 |
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A |
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Permutamos los elementos: l y l+i+1, es decir el 1 y el 2.
0 |
1 |
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A |
C |
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En la siguiente iteración del bucle i = 1, llamamos recursivamente con l = 2: Permutaciones(cad,2)
0 |
1 |
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A |
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Imprimimos la permutación e intercambiamos los elementos 2 y 3.
0 |
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